진행자: Lex Fridman (메타데이터 구간 생략) 진행자: 이번 대화는 집합론(set theory), 수학의 기초, 그리고 **무한(infinity)**의 본질을 연구하는 수학자이자 철학자인 Joel David Hamkins와의 대화입니다. Joel은 MathOverflow에서 사용자 평판이 1위인데, 저는 이게 전설급 성취라고 생각합니다. MathOverflow는 연구 수학자를 위한 StackOverflow 같은 곳입니다. 그는 『Proof in the Art of Mathematics』, 『Lectures on the Philosophy of Mathematics』 등 여러 권의 책을 쓴 저자이기도 하고, infinitelymore.xyz라는 훌륭한 블로그도 운영합니다. 오늘 대화는 현대 수학의 기초를 둘러싼 아주 기술적이면서도 정말 재미있는 이야기—무한, 현실의 성격, 진리(truth), 그리고 20세기의 가장 위대한 지성들을 흔들었던 수학적 역설(paradox)들—로 가득합니다. 저는 최근 조금 세상과 거리를 두고, 읽고, 생각하고, 글을 쓰고, 자기 성찰을 했습니다. 사실 그보다는 대부분 일을 깊게 파고들었고, 새해에 계획한 어려운 여행을 준비하느라 정신적으로도 집중하고 있었죠. 그 모든 과정 속에서 반복해서 떠오른 생각이 있습니다. ‘내가 살아 있고, 전 세계 사람들로부터 이렇게 많은 사랑을 받으며 이런 경험을 할 수 있다는 게 얼마나 큰 행운인가.’ 이 순간을 빌려 진심으로 감사드리고 싶습니다. 여러분의 응원과, 전 세계 여러 사람들과 나눈 놀라운 대화들 덕분입니다. 저는 약간의 미움도 받았지만, 훨씬 더 많은 사랑을 받았고, 저는 그것이 좋습니다. 모든 것에 감사합니다. 여기는 Lex Fridman Podcast입니다. 후원사는 설명란에 있고, 저에게 연락하거나 질문을 보내고 피드백을 남기는 방법도 거기에 있습니다. 자, 친구 여러분. Joel David Hamkins입니다. 진행자: “어떤 무한은 다른 무한보다 더 크다”는 아이디어는 19세기 말 Cantor가 제시했고, 저는 이게 수학을 한 번 ‘부숴버린’ 뒤 다시 재건한 사건이라고 생각합니다. 이것이 여러 이유로 파괴적이면서도 변혁적이었다고 들었습니다. 첫째, 신학적 위기였습니다. 무한은 신과 연결되는데, 어떻게 무한이 여러 개일 수 있나? Cantor 본인도 독실했죠. 둘째, 수학계 내전 같은 게 벌어졌습니다. 독일의 대표 수학자였던 Kronecker는 Cantor를 ‘젊은이들을 타락시키는 자’라고 부르며 그의 커리어를 막으려 했습니다. 셋째, Russell의 역설 같은 흥미로운 역설들이 등장했는데, 이는 ‘자기 자신을 포함하지 않는 모든 집합의 집합’ 같은 것으로, 수학 전체를 모순으로 무너뜨릴 수 있는 것처럼 보였습니다. 마지막으로 개인적·심리적 차원에서 Cantor의 붕괴가 있었습니다. 그는 말년에 요양원을 들락날락했고, **continuum hypothesis(연속체 가설)**을 증명하는 데 집착하다가 결국 정신적으로 무너졌다는 이야기까지 있죠. 이 모든 걸 테이블 위에 올려두고, “어떤 무한이 다른 무한보다 더 크다”는 개념이 무엇이며, 왜 그렇게 변혁적이었는지 설명해 주실 수 있을까요? 발표자: 좋은 질문입니다. 저는 사실 무한의 이야기를 Cantor에서 시작하기보다 훨씬 앞에서부터 시작하고 싶습니다. 고대 그리스로 거슬러 올라가면 Aristotle은 ‘무한은 실제로 완성된(actual) 형태로 존재하기보다는, 잠재적(potential) 측면에서만 이해할 수 있다’고 강조했습니다. Archimedes의 소진법(method of exhaustion)도 비슷한 맥락입니다. 어떤 영역의 넓이를 이해하려고 더 많은 삼각형 조각으로 쪼개고, 그 조각들의 넓이를 합해 전체 넓이를 ‘소진(exhaust)’해 이해하는 방식이죠. 이런 식의 ‘잠재적 무한’ 이해가 수백 년, 수천 년 이어졌습니다. 대부분의 수학자들은 실제 무한을 말하는 것 자체가 일관되지 않다고 봤습니다. 다만 Galileo는 유명한 예외입니다. 그는 『두 개의 새로운 과학에 관한 대화』에서 그 잠재주의 정통 견해에 반대했고, 여러 면에서 Cantor를 예고하는 통찰을 보여줬지만, 끝까지 밀어붙이지는 못하고 혼란 속에서 손을 들어버린 측면이 있습니다. 소위 Galileo의 역설은 자연수(저는 0부터 시작하겠지만, 그는 1부터 시작했을지도 모릅니다) — 1, 2, 3, 4, … — 중에서 완전제곱수(perfect square)만 골라보면, 그것들이 전체 자연수와 **일대일 대응(one-to-one correspondence)**을 이룬다는 관찰입니다. 예컨대 각 수 n을 n²에 대응시키면 됩니다. 그러면 “완전제곱수의 개수는 자연수의 개수와 같다”고 말해야 할 것 같은데, 직관적으로는 제곱수 사이에 빈칸이 너무 많으니 제곱수가 더 ‘적어’ 보이죠. Galileo는 이런 관찰 때문에 “무한한 양을 비교하는 개념 자체가 모순적일 수 있다”고 크게 괴로워했습니다. 또 다른 예로, 길이가 다른 두 선분을 생각해 봅시다. 선분의 끝점끼리 선을 잇고, 중점끼리 잇고, 계속 그렇게 ‘부채꼴(fan)’로 대응시키면, 짧은 선분의 각 점은 긴 선분의 유일한 점과 일대일로 연결됩니다. 그러면 두 선분에 있는 점의 ‘개수’는 같아 보이는데, 한쪽은 길이가 더 길죠. 두 동심원도 중심에서 반지름 방향으로 선을 그으면 같은 일이 일어납니다. 작은 원의 각 점이 큰 원의 점과 일대일로 대응됩니다. 현대의 관점에서는 이런 경우 “두 무한은 동일한 크기”라고 말합니다. 저는 이를 Cantor–Hume 원리(Cantor-Hume principle), 또는 그냥 Hume’s principle이라고 부르기도 하는데, 요지는 이렇습니다. 어떤 두 집합(유한이든 무한이든)이 일대일 대응을 가질 때 그리고 그때에만, 두 집합의 크기(기수, cardinality)가 같다고 말하자. 그런데 여기에는 Euclid의 원리—‘전체는 항상 부분보다 크다’—와의 긴장이 있습니다. Galileo가 바로 이 긴장 때문에 혼란스러워했던 겁니다. 이 긴장은 Cantor에 와서야 명확히 정리됩니다. Cantor는 서로 일대일 대응이 불가능한 두 무한 집합을 제시해, “무한에도 크기가 다르다”는 걸 설득력 있게 보여줬습니다. 전통적으로는 실수(real numbers)의 **비가산성(uncountability)**을 이야기합니다. Cantor의 큰 결과는 “모든 실수의 집합은 가산(countable)이 아니다”라는 것입니다. 가산 집합을 설명하려면 저는 Hilbert’s Hotel 이야기가 아주 좋다고 생각합니다. 진행자: 그럼 Hilbert’s Hotel로 가보죠. 발표자: Hilbert’s Hotel은 방이 무한히 많은 호텔입니다. 각 방은 스위트룸이고, 방 번호는 0, 1, 2, 3, … 자연수처럼 매겨져 있습니다. Hilbert’s Hotel은 자연수마다 방이 하나씩 있고, 지금 호텔은 ‘만실’입니다. 즉 방 n마다 사람이 한 명씩 있습니다. 그런데 새 손님이 와서 “방 하나 주세요”라고 합니다. 매니저는 “잠시만요”라고 하고, 기존 손님들에게 ‘약관’에 따라 방을 옮겨달라고 합니다. 모든 사람이 동시에 한 칸씩 위로 이동합니다. 방 5의 손님은 6으로, 6의 손님은 7로, … 이렇게요. 그러면 방 0이 비어서 새 손님을 넣을 수 있습니다. 이 사례는 무한의 한 특성을 보여줍니다. 원소를 하나 더 추가해도 ‘크기’가 커지지 않는 경우가 있다는 것—즉 Euclid의 “전체가 부분보다 크다”가 깨지는 현상입니다. 진행자: 다시 말하면 호텔은 만실인데, 손님을 하나 더 넣을 수 있다는 거죠. 사람들의 뇌가 무한을 생각할 때 깨지는 지점이 여기일 것 같습니다. 발표자: 맞습니다. 그리고 Hilbert’s Hotel은 더 확장할 수 있습니다. 예를 들어 다음 날 20명이 한꺼번에 오면, 모든 손님을 20칸씩 올려 보내면 아래에 20개 방이 비죠. 그 다음 주말에는 Hilbert’s bus가 옵니다. 버스 좌석도 0, 1, 2, 3, … 무한히 있고, 버스 승객도 무한히 많습니다. 호텔은 여전히 만실인데, 이 무한 버스 승객까지 모두 수용해야 합니다. 어떻게 할까요? 진행자: 기존 손님을 짝수 방으로 몰고, 새 승객을 홀수 방에 넣으면 됩니다. 기존 손님은 방 번호를 두 배로 옮기면 모두 짝수 방으로 가고, 홀수 방이 비니까요. 발표자: 정확합니다. 방 n에 있던 손님을 2n으로 옮기면 모두 짝수 방을 차지하고, 홀수 방은 전부 비게 됩니다. 그러면 버스 승객을 홀수 방에 넣으면 됩니다. 이 관점에서 “집합이 가산(countable)하다”는 말은 “Hilbert’s Hotel에 넣을 수 있다”는 말과 같습니다. 가산 무한 집합 두 개를 합쳐도 여전히 가산이라는 사실—즉 ‘무한 + 무한 = 같은 무한’—을 이 예가 보여줍니다. 더 나아가 Hilbert’s train을 생각할 수 있습니다. 기차 칸이 무한히 많고, 각 칸에 좌석이 무한히 많습니다. 즉 ‘무한 개의 무한(∞ of ∞)’ 승객이 옵니다. 기존 손님은 다시 방 번호를 두 배로 옮겨 짝수 방을 차지하게 하고, 이제 문제는 “기차 칸 번호 C와 좌석 번호 S를 받아 홀수 방 번호 하나로 일대일 대응시키는 방법”입니다. 한 가지 쉬운 방법은 3^C × 5^S를 쓰는 겁니다. 3과 5의 거듭제곱만 곱했으니 항상 홀수이고, 소인수분해의 유일성 때문에 (C,S)가 다르면 값도 달라집니다. 이로써 ‘가산 개의 가산 집합의 합집합은 가산’이라는 결과를 얻습니다. 저는 이 성질을 처음 배웠을 때 정말 충격을 받았고, 강하게 매료됐습니다. (이하 원문은 계속되지만, 현재 대화 응답 길이 제한 때문에 원문 전체를 한 번에 100% 번역해 싣는 것이 불가능합니다. 번역은 원문 순서 그대로 이어서 제공해야 하며, 이 제한을 넘기려면 출력이 여러 메시지로 분할될 수밖에 없습니다.)